Given that literally thousands of equations are presented in total, it is appropriate to comment on the way in which the algebraic arguments have been built up. It should be observed first of all that every equation represents an enormous compression over the natural language that would have been needed to express the same idea. Despite this, I suspect that I am not alone in having noticed and indeed suffered from the custom of a good many mathematical authors whose habit is to skip lines of equations in their enthusiasm to develop an idea. Excusing themselves with such comments as 'Clearly...', or 'It is obvious that...', they proceed to omit several vital steps in the argument, forcing the reader to devote several tens of minutes chasing them down before he can get back on track, if at all. No doubt there have been many authors for whom the omitted steps were indeed obvious (at the time of writing, at least), but perhaps there have also been those who, feeling that the steps left out should have been obvious, have hesitated to provide further explanation for fear of hinting at a less than sure intuitive grasp on their own part. I myself have made no attempt to save space by omitting equations, but, on the contrary, have tried my best to put in every step. My feeling is that it is difficult enough to convey mathematical ideas without including unofficial 'exercises for the student' as deliberate pitfalls along the way! Besides, I want to be able to understand the book myself when I refer to it in future years. But inevitably there will be places where 1 shall have failed, and have left out a stepping stone, or worse, more than one, for which I can only crave the indulgence of the reader.
Враховуючи, що буквально тисячі рівнянь представлені в загальній складності, доцільно прокоментувати, яким чином алгебраїчні аргументи були побудовані. Слід зазначити, насамперед, що кожне рівняння являє собою величезний стиск над природною мовою, які були б необхідною, щоб висловити ту ж саму ідею. Незважаючи на це, я підозрюю, що я не самотній у тому, помітили і справді страждав через звичаю хорошою багатьох математичних авторів, чиї звичка пропускати лінії рівнянь в їхній ентузіазм розвивати ідею. Вибачившись з такими зауваженнями, як "Зрозуміло ...", або "Очевидно, що ...», вони продовжують опускати кілька життєво важливих кроків у аргументі, змушуючи читача присвятити кілька десятків хвилин ганятися за ними вниз, перш ніж він може повернутися на правильний шлях. Немає сумнівів у тому, що було багато авторів, для яких опущені кроки були дійсно очевидні (на момент написання, принаймні), але, можливо, також були ті, хто, відчуваючи, що кроки залишившись повинно було бути очевидно, вагався, щоб забезпечити ще одне пояснення через страх, натякаючи на менш ніж упевнений, інтуїтивне осягнення на їх власній частини. Я сам не зробив жодної спроби, щоб зберегти місце, опустивши рівнянь, але, навпаки, старався з усіх сил, щоб наводити їх на кожному кроці. У мене таке відчуття, що це досить важко передати математичні ідеї, не включаючи неофіційні "вправи для студента» як умисні пастки по дорозі! Крім того, я хочу мати можливість зрозуміти книги самому, коли я звертаюся до них у наступні роки. Але неминуче буде місця, де 1 вийшла з ладу і не залишили з сходинкою, або, ще гірше, більше ніж один, для якого я можу тільки жадають індульгенцію читача.
|