Форум АСУ в Україні

It goes without saying that care is always needed in applying either method above. The modeller needs to keep in mind at all times the ultimate purpose of his simulation, and he must be particularly careful if the purpose of the simulation should change, when he will need to go back and check whether his artificial manipulation of the time constants is still valid.

Само собою зрозуміло, що догляд потрібен завжди при застосуванні будь-якого методу вище. Моделювальник повинен мати на увазі, що при всіх часах кінцева мета його моделювання повинна виконуватись, і він повинен бути особливо обережний, якщо мета моделювання повинна змінитися, тоді він повинен буде повернутися і перевірити, що його штучне маніпулювання постійних часу залишається в силі.

2.10 Solving nonlinear simultaneous equations in a process model: iterative method
The procedure of replacing one or more differential equations by an algebraic equation is, of course, universal in modelling. The assumption being made is that the dynamics of certain parts of the process are so fast that they reach a steady state almost instaneously. Such a component may be regarded as continuously in a steady state that evolves as different conditions are encountered at the component's boundaries. For example, we did not attempt to model the settling of the electronic currents in the level controller when we modelled the tank liquid level system: we knew that this process would occur as near instantaneously as would make no difference for our purposes. Unfortunately there are cases where the perfectly reasonable assumption of zero time constants leads to an implicit set of nonlinear, simultaneous equations. A case in point of importance to process modelling is fluid flow in a network. The establishment of liquid flow or of high-pressure gas or steam flow in a network of pipes will normally be very rapid compared with the more gradual changes in levels and pressures induced in connected vessels. Hence it is usually valid to assume that the flow network is continuously in a steady state. But the resulting algebraic equations cannot normally be solved simply, since they are nonlinear simultaneous equations.

2.10 Рішення систем нелінійних рівнянь в моделі процесу: ітераційний метод
Процедура заміни одного або декількох диференціальних рівнянь алгебраїчними рівняннями універсальна в моделюванні. Припущення робиться в тому, що динаміка деяких частин процесу така швидка, що вони досягають стійкого стану майже миттєво. Такий компонент можна розглядати як безперервно в стаціонарному стані, який розвивається в різних умовах і зустрічається на кордонах компонентів. Наприклад, ми не намагалися моделювати осадження електронних струмів в регуляторі рівня, коли ми моделювали систему рідинного рівня бака: ми знали, що цей процес буде відбуватися якомога швидше, а це не має ніякого значення для наших цілей. На жаль, є випадки, коли цілком розумним припущення про нульові постійні часу призводить до неявних системи нелінійних рівнянь. Справа в значенні для процесу моделювання потіку рідини в мережі. Створення потоку рідини чи газу під високим тиском або парового потіку в мережі труб, як правило, буде дуже швидким у порівнянні з більш плавною зміною рівнів і тисків, індукованих в сполучених посудин. Тому, як правило, можна припустити, що мережевий потік безперервний в стаціонарному стані. Але результат алгебраїчні рівняння не можна, як правило, вирішити досить просто, так як вони є системою нелінійних рівнянь.

Consider the system of Figure 2.3, which represents a flow network with six nodes. Liquid flows from an upstream accumulator, at pressure P1, to three downstream accumulators, at pressures P3, P5 and P6. The flow passes through a pipeline network with line conductances C12, C23, C24, C45 and C46. Let us assume that the network forms part of a larger model, the interface to which is provided by the pressures P3 and P5, assumed to be state variables. Further, let us assume for purposes of illustration that the pressures, Р1 and P6, are externally determined, so that they should be regarded as inputs. Because flow establishes itself so quickly, pressures Р2 and Р4 will be modelled as algebraic variables.

Розглянемо систему з рисунку 2.3, яка являє собою мережу потоків з шістьма вузлами. Рідина тече з вищестоящого накопичувача, з тиском Р1 до трьох наступних накопичувачів, з тисками P3, P5 і P6. Потік проходить через мережу трубопроводів з лінійною провідностю C12, C23, C24, C45 і C46. Давайте припустимо, що мережа є частиною більш великої моделі, звязок, з якою забезпечується за допомогою тисків P3 і P5, вони вважається змінними стану. Крім того, припустимо, з метою ілюстрації, що тиск Р1, і Р6, зовнішній, так що їх слід розглядати в якості вхідних даних. Так як потік встановлює себе дуже швидко, тиск Р2 і Р4 будуть моделюватися як алгебраїчні змінні.

Assuming that the liquid stays at the same temperature, the specific volume, v, will be constant throughout the network at its inlet value: v = v1, so we may write the flow equations as

Якщо припустити, що рідина залишається на тій же самій температурі, питомої обсягу, V, буде постійною по всій мережі на її вхідному значенні: V = V1, так що можна записати рівняння потоку, як

Given that the boundary pressures Р1, P3, P5 and P6 are either input variables or state variables (or explicitly derivable from the model's states), we have in equations (2.84) to (2.90) a set of seven nonlinear simultaneous equations in the seven unknowns: W12, W23, W24, W4s, W46, Р2 and Р4. We can in this case reduce the order of the problem easily by substituting for the flows into equations (2.89) and (2.90) to give

Враховуючи, що тиски Р1, P3, P5 і P6, є або вхідні змінні або змінні стану (або явно, одержані з станів моделі), ми маємо в рівняннях (2.84) до (2.90) набір з семи нелінійних систем рівнянь з семи невідомими: W12, W23, W24, W4S, W46, Р2 і Р4. Ми можемо в цьому випадку легко знизити порядок проблеми, замінивши потоки в рівняннях (2,89) і (2,90), щоб дати

But we are still left with two nonlinear simultaneous equations in the two pressure unknowns P2 and P4.

Але все ще залишилася одна система з двома нелінійними рівняннями з двома невідомими тисками Р2 і P4.

It is a characteristic of pumped liquid systems and of the steam or gas flow networks with turbines and compressors that no explicit solution is generally available. It is clear from the form of equations (2.91) to (2.92) that no explicit solution can be expected even for the simple flow network above. Instead, an iterative method is needed in order to achieve a solution.
A common method of solution is the Newton-Raphson method, already described in connection with a stiff integration algorithm in Section 2.7, equations (2.71) to (2.74). The equations above are in the form

Це характеристика перекачуємої рідини в системі і парових або газових потоків мережі з турбін і компресорів,є неявними рішеннями і не є загальнодоступними. Як видно з форми рівнянь (2,91) до (2,92), що є неявні рішення і не можна застосувати навіть для простої мережі потоку вище. Замість цього пропонується, ітераційний метод необхідний для рішення.
Загальний метод вирішення є метод Ньютона-Рафсона, вже був описаний для жорсткого алгоритму інтегрування в розділі 2.7, рівнянь (2,71) до (2,74). Рівняння вище запишем у вигляді

In general, the vector of model states, x, and the vector of inputs, u, will be held constant throughout each set of iterations.

Загалом, вектор моделі станів, X, і вектор входів, u, проходитиме постійним протягом кожного набору ітерацій.

At each time, t, successively better estimates for z may be calculated from

У кожен момент часу, t, послідовні кращі оцінки z і можуть бути обчислені

A good subroutine for solving nonlinear simultaneous equations may be provided within the overall simulation package, or it may be necessary for the modeller to introduce such a routine himself. Commercial software is available if not already provided within the simulation package. Further detail on iterative methods for solving implicit equations is given in Chapter 18, Section 18.5, which includes a discussion on how to speed up convergence in flow networks.

Хороші підпрограми для вирішення нелінійних систем рівнянь можуть бути забезпечені в рамках загального пакету моделювання, якщо це може бути необхідно для моделювальника, щоб ввести таку процедуру самому. Комерційне програмне забезпечення доступне, якщо це вже не передбачено в пакеті моделювання. Більш детальна інформація про ітераційних методів для вирішення неявних рівнянь наведені в главі 18, розділ 18.5, який включає в себе дискусію про те, як прискорити збіжність в мережі потоків.

2.11 Solving nonlinear simultaneous equations in a process model: the Method of Referred Derivatives
An alternative method of solving nonlinear simultaneous equations within a simulation is based on the properties of equation (2.93). Since the vector function, g, is constant (at zero) throughout all time, it follows that its time differential is also zero at all times:

2.11 Рішення нелінійних систем рівнянь в моделі процесу: метод направлених похідних
Альтернативний спосіб вирішення нелінійних систем рівнянь у моделюванні на основі властивостей рівняння (2,93). З вектор-функції, g, постійної (в нулі) протягом усього часу, випливає, що його різниця в часі теж дорівнює нулю у всі часи:





Equation (2.98) represents a set of k linear simultaneous equations in the k unknowns, dzi/dt, which are calculated by reference to the derivatives of the state variables and the derivatives of the inputs- hence the name Method of Referred Derivatives.

Рівняння (2.98) являє собою набір k лінійних систем рівнянь в k невідомими, dzi / dt, які розраховуються з посиланням на похідні змінних стану і похідних входів - звідси і назва метод направлених похідних.

The derivatives of the state variables are immediately available, since they are calculated in the normal course of the simulation. The derivatives of the input vector, u, may be calculated to any required degree of accuracy off-line to the simulation. The only restriction on u is that its differentiation must not lead to a discontinuity, so that, for instance, a step change must be replaced by a steep ramp function (likely to be physically more realistic in any case).
Using the Method of Referred Derivatives, it is possible to integrate the vector dz/dt in the same way as the vector dx/dt. Thus this method replaces the need to solve a set of nonlinear, simultaneous equations at each timestep by the simpler requirement of solving a set of linear, simultaneous equations, followed by integration of the resultant time-differentials from a feasible initial condition, z(0).

Похідні змінних стану відразу стають доступними, так як вони розраховані в нормальному ході моделювання. Похідні вхідного вектора можуть бути розраховані з будь-якою необхідною ступінню точності в офф-лайн симуляції. Єдине обмеження в тому, що його диференціації не повинні призводити до розриву, так що, наприклад, зміна кроку повинена бути замінена крутою похилою функції (ймовірно, щоб бути фізично більш реалістичним в будь-якому випадку).
За допомогою методу направлених похідних, можна інтегрувати в вектор dz/dt таким же чином, що і вектор dх/dt. Таким чином, цей метод замінює необхідність вирішення низки нелінійних систем рівнянь на кожному часовому кроці, простим рішенням системи лінійних рівнянь, а потім шляхом інтегрування отриманих тимчасових відмінностей від можливого початковому стані, z (0).

The initial condition may be determined by an iterative solution of equation (2.93) just once at the beginning of the simulation, or, indeed, by a prior, off-line calculation. Alternative techniques based on integrating an artificial 'prior transient' are given in Chapter 18, Sections 18.7 to 18.9, where a more detailed worked example is given.
As an example, taken the flow network of Figure 2.3, described by equations (2.91) and (2.92). Differentiating the two equations with respect to time gives:

Початкова умова може бути визначено шляхом ітераційного рішення рівняння (2,93) тільки один раз на початку моделювання, або, насправді, за допомогою попереднього офф-лайн розрахунку. Альтернативні методи, засновані на інтеграції штучнjuj "попереднього переходу», наведені в главі 18, розділи 18.7 до 18.9, де більш детальну опрацьований приклад.
Як приклад, взято мережу потоків малюнку 2.3, описується рівняннями (2,91) і (2,92). Диференціювання двох рівнянь по часу дає:

Given the fact that equation (2.107) is linear, an explicit solution is possible and, indeed would be efficient in this case of only two unknowns. Explicit solutions cease to be the most efficient method of solution when the number of unknowns exceeds three, when Gaussian elimination becomes an attractive direct method.
Solving equation (2.107) allows integration from the initial conditions (p2(0), p4(0)):

Враховуючи той факт, що рівняння (2,107) є лінійним, явне рішення можна й справді було б ефективним в цьому випадку тільки двох невідомих. Явні рішення перестають бути найбільш ефективним методом вирішення, коли число невідомих перевищує три, коли стає привабливим прямий метод Гаусса.
Вирішуючи рівняння (2.107) дозволяє інтегрувати з початковими умовами (P2 (0), P4 (0)):