Форум АСУ в Україні

The thirteen equations derived above contain algebraic expressions for flows, level, differential pressure, fractional valve openings and demanded valve travel, as well as expressions for the rate of change of liquid mass and for the rate of change of valve travel for each valve. Given a knowledge of the constants contained in our equations, we can calculate all these algebraic expressions at any instant in time, once we know the present values o f the liquid mass in the tank and o f the three valve travels. These last four variables are vital indicators of the condition of the system, and are called the 'state variables' or, more colloquially, the 'states' of the system. What prevents the flow of the calculation being circular is that we may integrate numerically the state derivatives with respect to time from any given starting values for the state variables to find their values at any later time. At time to, the liquid mass and the valve travels will be at their initial conditions, assumed known:

(правка 23.01.15 san)
Тринадцять рівнянь, виведені вище, містять алгебраїчні вирази для витрат, рівня, диференціального тиску, ступеня відкриття клапанів і положення ходу штоку, а також вирази для швидкості зміни маси рідини і швидкості зміни ходу клапана для кожного клапана. Враховуючи знання констант, що містяться в наших рівняннях, ми можемо обчислити всі ці алгебраїчні вирази в будь-який момент часу по поточним значенням маси рідини в ємності і положенням трьох клапанів. Ці останні чотири змінні є життєво важливими показниками стану системи, і називаються "змінними стану", або, більш розмовно, це "стан" системи. Бути циклічним процесу розрахунку заважає те, що для пошуку значень змінних стану у будь який момент часу, ми повинні чисельно інтегрувати похідні за часом тільки попередньо задаючись будь-якими початковими значеннями цих змінних. У цей час, маса рідини і положення штоку клапана буде відповідно до початкових умов, задано згідно залежності:

Thereafter the liquid mass at any subsequent time is found by integrating equation (2.1) and the valve travels are determined by integration of equations (2.9) to (2.11):

Після цього маса рідини в будь-який наступний момент знаходиться шляхом інтегрування рівняння (2.1) а положення клапанів визначаються шляхом інтегрування рівнянь (2.9) до (2.11):

We have now derived a model for the tank liquid level system, and by programming these equations into a simulation language on a digital computer, we can examine the behaviour of the system over time. In a typical use of such a model, we would examine the response of liquid level to a range of forcing functions imposed on inlet valve demanded travels and on the setpoint for liquid level. We would then adjust the gain of the level controller to give good control over the range of liquid levels expected in plant operation.
We shall now use the mathematical model just derived to illustrate some general features of dynamic simulation.

(правка 23.01.15)
Тепер ми маємо виведену модель для системи рівня рідини в резервуарі, і при програмуванні цих рівнянь на мовах моделювання, ми можемо досліджувати поведінку системи в часі. При типовому використанні такої моделі, ми розглянемо реакцію рівня рідини в діапазоні змушувальних функцій прикладених до положення впускного клапану і до заданого значення рівня рідини. Потім ми зможемо налаштувати коефіцієнт пропорційності регулятора рівня для хорошого керування в діапазоні рівнів рідини, які очікуються при експлуатації. Тут же ми будемо використовувати отриману математичну модель просто, щоб проілюструвати деякі загальні риси динамічного моделювання.

2.3 The general form of the simulation problem
The variables used in the model of the tank liquid level system above may be characterized as in the Table 2.1.
The most important variables in the system are the state variables, since it is their evolving behaviour in time that is the basis of the dynamic response of the system. The importance of their role may be brought out further by rearranging the equations in Section 2.1 to eliminate all the algebraic equations and leave just the four state equations, integration of which enables us to trace the response of the system.

(правка 23.01.15)
2.3. Загальні форми для задач імітаційного моделювання
Змінні, що використані вище в моделі рівня рідини в резервуарі, можна охарактеризувати як в таблиці 2.1.
Найбільш важливі змінні в системі є змінні стану, так як їх поведінка в часі є основою динамічного відгуку системи. Важливість їх ролі може бути наведена далі шляхом перестановки рівнянь даних в розділі 2.2 так, щоб усунути всі алгебраїчні рівняння і залишити тільки чотири рівняння стану, інтегрування яких дозволяє простежити реакцію системи.

Substituting into equation (2.1) for each of the mass flows, W, from equations (2.2) to (2.4), and further substituting for the dependencies contained in equations (2.5) to (2.8) and in equation (2.13) gives:

(24.01.15)
Підставляючи рівняння (2.2) - (2.4) в рівняння (2.1) для кожної з масових витрат, W, , і замінивши залежності рівняннями (2.5)- (2.8) і рівнянні (2.13), отримуємо:

while substituting into equation (2.11) from equations (2.12) and (2.13) gives:

підставляючи в рівняння (2.11) рівняння (2.12) і (2.13), отримуємо:

Hence, using equations (2.9), (2.10), (2.19) and (2.20), we may write down the equations describing the dynamics of the liquid tank system as:

Таким чином, за допомогою рівнянь (2.9), (2.10), (2.19) і (2.20), ми можемо записати рівняння, що описують динаміку системи резервуара з рідиною, як:

Thus in order to solve for the essential dynamic behaviour of the liquid tank system, it is sufficient to integrate just these four equations (2.21) in the derivatives of the four states x1, x2, x3, m, from the initial conditions x=1.0, x2.0, x3.0, m0.

Таким чином, для прорахунку динамічного режиму системи резервуара з рідиною, досить інтегрувати тільки ці чотири рівняння (2.21) у 4-х похідних стану x1, x2, x3, М, з початковими умовами х1,0 , x2.0, x3.0, m0.

Equations (2.21) have been written in the order and manner above to bring out the dynamic interdependence of the states that will normally emerge as a feature of models of typical industrial processes. While the derivative of one state may depend only on the current value of that state, as in the case of the valve travels, xl and x2, others will depend not only on their own state but also on a number of others. This latter situation arises above in the cases of control valve travel, x3, and the liquid mass in the tank, m. The dependence may be linear in some cases, but in any normal process model, there will be a large number of nonlinear dependencies, as exhibited above by the derivative for tank liquid mass, which is dependent on a term multiplying the square of one state by the square-root of another. This is an important point to grasp for those more accustomed to thinking of linear, multivariable control systems: such systems are idealizations only of a nonlinear world.

(24.01.15)
Рівняння (2.21) були написані в такому порядку і в такий спосіб, щоб виявити динамічну взаємозалежність станів, які як правило, виникають в моделях типових технологічних процесів. У той час як одна змінна може залежати тільки від самої себе, як і у випадку положення клапана, X1 і Х2, інші будуть залежати не тільки від свого значення, але і від ряду інших. Ця ситуація виникає у разі керування положенням клапану, x3, і маси в резервуарі, m. У деяких випадках залежність може бути лінійною, але в будь-якій нормальній моделі процесу, буде велика кількість нелінійних залежностей. В даному випадку це зміна маси в резервуарі, що залежить від добутку квадрату однієї змінної (x3) на квадратний корінь іншої (m). Це важливий момент треба зрозуміти тим, хто більше звик до думки про лінійні, багатовимірні системи керування: такі системи ідеалізовані тільки в нелінійному світі.

Equation (2.21) also shows how state behaviour depends on the forcing variables, in this case the externally determined setpoint for liquid level, l5, and the demanded valve travels for inlet valve 1, Xdl, and inlet valve 2, Xd2.
We may write down the basic form for a soluble simulation problem as:

(25.01.15)
Рівняння (2.21) також показує залежність змінних стану від змушувальних змінних. У даному випадку це, зовні визначене, задане значення рівня, l5, і необхідні положення впускних клапанів 1 і 2, Xdl і Xd2.
Запишемо загальну форму для розвязної задачі імітаційного моделювання, як:

where
x is an n-dimensional vector of system states, whose values are known at time t = t 0 , u is an l dimensional vector of forcing variables, f is a vector function that depends on the states, x, on the forcing variables, u, and (sometimes) directly on time itself, t. (The direct dependence on time can allow for the change in parameters over time in a known manner, such as the ageing of catalyst in a catalyst bed. It would normally be possible to include an extra state in the model to account for the gradual change in such a parameter, but there may be times when it is easier to insert a direct, algebraic dependence on time.) The differential of the vector, x, with respect to time is defined as the vector of the differentials of the components of x.

де
х n-вимірний вектор стану системи, значення якого відомі в момент часу t = t0, u - це l-вимірний вектор змушувальних (вхідних) змінних, f - є вектор-функція, яка залежить від х,u, і (іноді) безпосередньо від часу, т. (Пряма залежність від часу може забезпечити зміну параметрів з часом відомим способом, наприклад старіння каталізатора в шарі каталізатора. Як варіант можна б було включити додаткову змінну стану в модель для врахування поступової зміни цього параметру. Однак бувають випадки, коли простіше вставити пряму алгебраїчну залежність від часу). Диференціал вектора,X, за часом визначається як вектор диференціалів компонентів х .

The fundamental point to be noted is that we may regard a simulation problem as solved in principle as soon as
(i) we have a consistent set of initial conditions for all the state variables, and
(ii) we are able to equate the time differential of each state variable to a defined expression involving some or all of the state variables, some or all of the inputs and time.
For example, in the case of the liquid-level system, the vector of states, x, is 4-dimensional and given by;
The vector of forcing variables, u, is 3-dimensional and given by:
and the vector function, f, consists of 4 rows and is given by:

(25.01.15)
Принциповим моментом слід зазначити, що ми можемо розглядати задачу моделювання вирішеною, як тільки
(і) маємо узгоджений набір початкових умов для всіх змінних стану, і
(II), ми можемо прирівняти диференціал по часу кожної змінної стану певному виразу, який включає деякі або всі змінні стану, деякі або всі входи і час.
Наприклад, у випадку системи рівня рідини, вектор станів, X, 4-вимірний і визначається за формулою (2.23).
Вектор змушувальних (вхідних) змінних, u, 3-вимірний і визначається за формулою (2.24):
і вектор-функція, f, складається з 4 рядків і визначається за формулою (2.25):

where the functions fі are defined by the right-hand sides of equations (2.21). In this case, f has no explicit dependence on time.

де функції fi-визначаються з правих частин рівнянь (2.21). У цьому випадку, f не має явної залежності від часу.

The derivative of the state vector in this case is given by:

Похідна від вектора стану в цьому випадку визначається за формулою:

If the model of the system to be simulated can be reduced to the form of equations (2.22), then a timemarching, numerical solution becomes possible by repeated application of, for instance, the first-order Euler integration formula:

(26.01.15)
Якщо модель системи для імітаційного моделювання може бути зведена до форми рівнянь (2.22), то часово-покрокове чисельне вирішення стає можливим за допомогою повторюваного застосування, наприклад, формули інтегрування Ейлера першого порядку:

There are a number of proprietary simulation packages available, and many will offer a number of more complex integration algorithms. Nevertheless the firstorder Euler method can prove a very robust and efficient algorithm for many simulation problems, especially those with a large number of discontinuities. But whatever the integration routine, the principle is the same: establish the starting condition of the system, i.e. the initial values of the system's states, then integrate forward in a time-marching manner to determine their subsequent behaviour, using the algebraic equations to link together the effects of changes in state values on different parts of the system.

На сьогодні доступно багато фірмових пакетів імітаційного моделювання, і багато з них пропонують декілька більш складних алгоритмів інтегрування. Проте простий метод Ейлера може довести надійний і ефективний алгоритм для багатьох задач імітаційного моделювання, особливо з великою кількістю розривів. Але неважливо, яка використовується підпрограма інтегрування, принцип той же: встановити початкові умови для системи, тобто початкові значення стану системи, потім інтегрувати переміщуючись часово-покроково вперед таким чином, щоб визначити її подальшу поведінку, використовуючи алгебраїчні рівняння, щоб зв'язати між собою зміни значення змінних стану в різних частинах системи.

timemarching, time marching, time-marching, time marching - часово-покроковий

Very often the simulation program in a commercial package is divided up for ease of reference and modification, as well as computational efficiency into sections similar to the categories of Table 2. 1;
a section for constants that will be input or evaluated only once;
a section for initial conditions, again evaluated only once;
a section where the algebraic equations needed for derivative evaluation are calculated;
a section where the numerical integration is performed;
an output section, where the output form is specified, e.g. graphs for some variables, numerical output for others.

(27.01.15)
Дуже часто в комерційних пакетах моделювання імітаційні програми для зручності їх модифікування та обчислювальної ефективності розділені на секції по категоріям, подібно до таблиці 2.1:
- секція для констант, які будуть введені або обчислені тільки один раз;
- секція для початкових умов, знову ж таки обчислюється тільки один раз;
- секція, де розраховуються алгебраїчні рівняння, які потребують визначення похідної;
- секція, де виконується чисельне інтегрування;
- вихідна секція, де визначена вихідна форма, наприклад, графіки для деяких змінних, цифрові індикатори для інших.