Форум АСУ в Україні

Now the energy, E, contained in the fixed volume is the sum of the fluid's internal, kinetic and potential energies:

Тепер енергія, E, що містяться у фіксованому обсязі сума внутрішніх, кінетичної і потенційної енергій рідини в:



where m is the mass of the fluid in the fixed volume and c is its bulk velocity. But it is shown in Appendix 1 that we may neglect the kinetic energy and potential energy terms in the fixed volume in the normal process-plant and so may simplify equation (3.35) to

де m-маса рідини у фіксованому обсязі і c обємна швидкість. Але це показано в Додатку 1, що можна знехтувати кінетичною і потенційною енергією у фіксованому обсязі в звичайному технологічному процесі і так можна спростити рівняння (3.35) в



so that the time-differential of the energy in the fixed volume is

так що часова диференціація енергії у фіксованому обсязі



Hence we may set down the full form of the equation for the conservation of energy in a fixed volume as:

Отже, ми можемо встановити нище повну форму рівняння для збереження енергії в заданому обсязі, як:



Applying the principle of the conservation of mass to this system gives:

Застосовуючи принцип збереження маси, ця система дає:



Equations (3.38) and (3.39) are two simultaneous equations in the two unknowns dm/dt and du/dt. Their convenient form allows us to reframe (3.38) as:

Рівняння (3.38) і (3.39) є два рівнянь з двома невідомими dm/dt і du/dt. Їх зручна форма дозволяє по-новому сформулювати (3.38) у вигляді:

In many cases the remarks made in Appendix 1 about the relatively negligible values of kinetic energy and potential energy in the fixed volume will apply equally to the incoming and outgoing flows, so that it will then be possible to neglect these terms on the right-hand side of equation (3.40), leading to the simpler form:

У багатьох випадках зауваження, зроблені в додатку 1 у зв'язку з відносно незначними величинами кінетичної і потенційної енергії в заданому обсязі буде застосовуватися в рівній мірі до вхідних і вихідних потоків, так що тоді буде можна знехтувати ці терміни на правій частині рівняння (3.40), що призводить до простішого вигляду:


where p is the average, 'bulk' pressure in the fixed volume. Equation (3.43) may now be integrated numerically with respect to time to solve for the specific internal energy, u.

де р являє собою середній, "основний" тиск у фіксованому обсязі. Рівняння (3.43) тепер можуть бути чисельно інтегроване за часом для визначення питомої внутрішньої енергії, u.

We will normally wish to see the effect on the temperature of the enclosed volume. It is almost always possible to assume that specific internal energy is a function of temperature alone, specifically in the following cases:
(i) where the fluid in the fixed volume is a liquid, since pressure has only a slight effect on the specific internal energy;
(ii) when the fluid in the fixed volume is an ideal or near-ideal gas, when the specific internal energy is a function only of temperature, so that du/dT is a constant;
(iii) when the fluid in the fixed volume is a real gas with temperature more than about twice its critical value and pressure up to about five times its critical value; the overwhelming majority of gases as used in industrial processes come into either this category or category (ii) above;
(iv) when the fluid in the fixed volume is in vapour-liquid equilibrium because of boiling or condensation. In this condition pressure is a function of temperature, so any dependence on pressure is automatically a dependence on temperature.
We may thus replace du/dt by (du/dT)x(dT/dt) in equation (3.43), thus transforming it into a differential equation in temperature:

Зазвичай ми можемо спостерігати ефект на температуру в замкнутому обсязі. Це майже завжди можна припустити, що питома внутрішня енергія є функцією тільки температури, зокрема, в наступних випадках:
(I), де рідина у фіксованому об'ємі рідини, оскільки тиск має лише незначний вплив на питому внутрішню енергію;
(II), коли рідина у фіксованому обсязі є ідеальним або майже ідеальний газ, коли питома внутрішня енергія є функцією тільки від температури, так що du/dT є постійною;
(III), коли рідина у фіксованому обсязі реальний газ з температурою більш ніж приблизно вдвічі порівняно з критичною і тиску приблизно до п'яти разів критичного значення; Переважна більшість газів, використовується в промислових процесах відносяться до цієї категорії або категорії (II) вище;
(IV) коли рідина у фіксованому обсязі в парорідинній рівновазі через кипіння або конденсації. У цьому стані тиск є функцією температури, так що будь-яка залежність від тиску автоматично залежність від температури.
Таким чином, ми можемо замінити du/dt by (du/dT)x(dT/dt) в рівнянні (3.43), таким чином, перетворюючи його в диференціальне рівняння температури:

3.6 Effect of volume change on the equation for the conservation of energy
We assumed in Section 3.5 that the vessel had a fixed geometry, so that no power was spent in bulk expansion. In the absence of any other power output, we could set P = 0 in equation (3.43). But if the bounded volume had one or more free surfaces (e.g. a inside a piston chamber, or above a liquid in a vessel with a gas over-blanket), then we would need to take account of the work done against the imposed pressure. Let us take the case where the top surface in Figure 3.2 moves up a small amount in the time interval δt, so that the volume of the fluid increases by an amount dV (m3). Assuming that the pressure above this surface is p, (Pa), the work done is given by:

3.6 Вплив зміни обсягу на рівнянні для збереження енергії
Ми припустили, в розділі 3.5, що посудина була з фіксованою геометрії, так що ніяка сила не призвела до об'ємного розширення. При відсутності будь-якої іншої вихідної потужності, можна встановити р=0 в рівнянні (3.43). Але якщо в обмеженому обсязі була одна або декілька вільних поверхонь (наприклад, всередині поршневої камери або над рідиною в посудині з газовим шаром), то ми мали б взяти до уваги роботу, яку здійснюють проти нав'язаного тиску. Візьмемо випадок, коли верхня поверхня на малюнку 3.2 переміщується вгору на невелику відстань в інтервалі часу δt, так що об'єм рідини збільшується на величину dV (м3). Якщо припустити, що тиск вище ніж тиск цієї поверхні р, (Па), робота визначається за формулою:

Dividing by δt and then letting δt -> 0 allows us to evaluate the power, P, as

Поділ на δt, а потім дозволити δt -> 0 дозволяє нам оцінити силу, P, як

The pressure, pt differs from the bulk pressure of the fluid, p, only by the head difference, which may often be neglected. In this case,

Тиск, Pt відрізняється від об'ємного тискe даного середовища, р, тільки різницею тисків, якою часто можна знехтувати. У цьому випадку,

3.7 Conservation of energy equation for a rotating component
A number of rotating components are in common use in process plants, e.g. turbines, compressors, pumps, centrifuges and stirring paddles, and it is important to understand how such pieces of equipment are affected by the conservation of energy. For a rotating component, the principle of conservation of energy states that
the rate of change of rotational energy equals the power in minus the useful power out and minus the power lost in friction.
The rotational energy is given by

Кількість обертових компонентів у загальному користуванні, в технологічних установках, наприклад, турбіни, компресори, насоси, центрифуги і перемішування весла, і важливо зрозуміти, як такі частини обладнання залежать від збереження енергії. Для обертової компонента, принцип збереження енергії стверджує, що
Швидкість зміни енергії обертання дорівнює потужність мінус корисне потужность і мінус втрати потужності при терті.
Енергія обертання задається


where:
J is the moment of inertia (kg m2),
w is the rotational speed in radians per second,
N is the rotational speed in revolutions per second.

де:
J момент інерції (кг м2),
w швидкість обертання в радіанах в секунду,
N швидкість обертання в оборотах в секунду.

A formal differentiation of (3.48) with respect to time gives:

Після формального диференціювання (3.48) за часом, отримаємо:

The term in dJ/dt has been retained, since it is needed routinely in, for example, the modelling of solids-liquid separation centrifuges and it may be needed to model other rotating components in fault situations where change of geometry is possible.
The conservation of energy equation is therefore:

Термін в dJ/dT було збережена, так як ввн необхідний , наприклад, при моделюванні поділу твердої і рідкої фази в центрифугах і можуть бути необхідні для моделювання інших обертових компонентів в аварійній ситуаціях, коли зміна геометрії можна.
Рівняння збереження енергії становить:

where
Pin is the input power (W),
Pout is the useful output power (W),
Pf is the power expended against friction (W).
Power lost to friction is likely to have a component proportional to N^2 for motion against a lubricated surface and a component proportional to N^3 for motion through fluids.

де
Pin є споживана потужність (Вт),
Pout є корисним вихідна потужність (Вт),
Pf потужність, втрачена на тертя (W).
Втрати потужності на тертя, ймовірно, компонентів пропорційно N^2 для руху по змащеній поверхні і компоненту, пропорційно N^3 для руху через рідини.

3.8 Conservation of mass in a pipe
So far we have considered the conservation equations applied to a systems where temperature, pressure, specific volume, etc. could each be characterized by a single bulk variable, valid throughout the system. But in a long pipe or tube carrying a flowing fluid, such quantities will vary continuously along its length, making a long pipe an inherently distributed system. We need to take account of this variation in space as well as time in order to model the behavior of such diverse systems as once-through boilers in power stations, where the tubes are tens of metres long, and oil and gas pipelines that may be tens of kilometres long.

3,8 Збереження маси в трубопроводі
До цих пір ми розглядали рівняння збереження, застосованих до систем, де температура, тиск, питомий об'єм і т.д. може бути охарактеризовані в одній об'ємній змінній, що діє по всій системі. Але протягом тривалої труби або трубки, через які протікає середовища, при такому обсязі, безперервно змінюються по довжині, що робить довгу трубу розподіленою системою. Ми повинні враховувати ці зміни в просторі, а також час для того, щоб змоделювати поведінку таких різнорідних систем, для котлів на електростанціях, де труби десятки метрів у довжину, і нафто- і газопроводів, які можуть бути десятки кілометрів.

The distributed nature of long pipes has implications for how the conservation principles apply. We will begin by developing the equation for the conservation of mass.
We assume that the fluid is homogeneous, that its flow is purely parallel to the axis of the pipe and of uniform velocity across the pipe, i.e. one-dimensional. Consider the element of pipe shown in Figure 3.3.

Розподілений характер довгих труб має значення для того, які принципи збереження застосовуються. Ми почнемо з розробки рівняння для збереження мас.
Ми припускаємо, що рідина однорідна, що її потік чисто паралельний осі труби і з рівномірною швидкістю через трубу, тобто одновимірний. Розглянемо елемент труби, показаної на малюнку 3.3.

All variables are functions of both time and distance. Hence at any time, t, the values at the reference distance x are:

specific volume = v
velocity = c
where c will have units of m/s. At the same time instant, the values at x + δx are:

Всі змінні є функціями часу і відстані. Отже, в будь-який момент часу, t, значення щодо відстані х є:
питомий об'єм = v
швидкість = с
де с матиме одиниць м/с. У той же момент часу, значення в точці х + δx є:

By geometry, the mass flow into the pipe element is:

З точки зору геометрії, масова витрата в трубі елемента:

where A is the cross-sectional area of the pipe (m2), while the flow out may be written formally as:

де А являє площа поперечного перерізу труби (м2), в той час як потік може бути записано формально як:

The mass of the pipe element is the volume divided by the specific volume:

Маса елемента в трубі, поділеній на питомі об'єми:

so that the rate of change of mass in the pipe element is:

так що швидкість зміни маси в елементі труби:

We may now invoke the principle of the conservation of mass as applied to the pipe element, as given by equation (3.28):

Тепер ми можемо посилатися на принцип збереження маси стосовно до елементу труби, відповідно до рівняння (3.28):

Substituting from equations (3.51), (3.52) and (3.53) gives:

Підставляючи з рівнянь (3.51), (3.52) і (3.53), отримуємо:

It will be noted that a partial derivative is needed in order to specify the time differential at any given point in space along the pipe. Since δx does not vary with time, it may be cancelled from the above equation to give the general form:

Слід зазначити, що необхідні часткові похідні для того, щоб задати диференціал часу в будь заданій точці простору уздовж труби. Оскільки δx не змінюється з плином часу, що може бути скасований з наведеного вище рівняння, щоб дати загальний вигляд:

In many cases the cross-sectional area of the part of the pipe under consideration will not vary with either time or distance, so that equation (3.54) can be written:

У багатьох випадках площа поперечного перерізу частини розглянутої труби не змінюватиметься залежно від часу або відстані, так що рівняння (3,54) можна записати:

Since the only time differential is specific volume, v, we may, in theory, apply finite differences in space to the partial differential in distance and solve by numerical integration for the later behaviour of v, provided we are first given
(i) the starting distribution of the specific volume v(x, t) for all x at t = 0, and
(ii) the behaviour of velocity c(x, t) for all x and all t under consideration
The first requirement is likely to be met relatively easily, but the second is unlikely to be known in advance. Hence equation (3.58) is unlikely to fulfil the modeller's needs on its own.

Оскільки тільки часовий диференціа питомий обсяг, V, то можна, в теорії, застосовати скінченні різниці в просторі на відстані і вирішити чисельним інтегруванням для подальшої поведінки V за умови,
(І), починаючи розподіл питомої обсягу V(X, t) для всіх х при t = 0, і
(II) поведінка швидкості c(X, t) для всіх х і всі t на стадії розгляду
Перша вимога може бути виконано відносно легко, але друга навряд чи буде відома заздалегідь. Тому рівняння (3.58) навряд чи виконає потреби моделювальників саме по собі.