Форум АСУ в Україні

It is possible to express the principal specific heats in terms of the thermodynamic variables we have introduced previously. The first law of thermodynamics may be written

Основні теплоємності можна виразити з точки зору термодинамічних змінних, які ми ввели раніше. Перший закон термодинаміки можна записати

where the term pdv represents the work done by the gas in expanding. But if the volume is held constant during the heating process, then there will be no expansion, and so all the heat will appear as a change in internal energy:

де термін pdv являє собою роботу, виконану газом в процесі розширення. Але якщо обсяг залишається постійним в процесі нагрівання, то не буде ніякого розширення, і так все тепло буде виглядати як зміна внутрішньої енергії:

Thus the specific heat at constant volume is found by substituting from (3.11) into (3.9) to give

Таким чином, питома теплоємність при постійному обсязі визначається підстановкою з (3.11) в (3.9), щоб дати

In fact, specific internal energy is dependent solely on temperature for an ideal gas, and so the constantvolume subscript, v, may be dropped:

Справді, питома внутрішня енергія залежить тільки від температури для ідеального газу, і так для постійного обсягу індекс, V, може бути видалений:

For the case when the pressure is kept constant during the heating process, we begin by noting the definition of specific enthalpy, namely:

Для випадку, коли тиск підтримується постійним в процесі нагрівання, ми починаємо визначення питомої ентальпії, а саме:

The incremental change in specific enthalpy for a constant-pressure heating will be

Поступові зміни в питомій ентальпії при нагріванні з постійним тиском будуть

But applying equation (3.10) to the case of constantpressure heating, we have

Але застосовуючи рівняння (3.10) у випадку нагрівання при постійному тиску, ми маєм

But we may demonstrate that specific enthalpy is a function of temperature only for a near-ideal or semiideal gas by substituting for the term pv from the equation of state (3.2) into equation (3.6):

Але ми можемо продемонструвати, що питома ентальпія є функцією тільки від температури для майже ідеальною або напівідеального газу шляхом заміни терміну рv з рівняння стану (3.2) в рівняння (3.6):

Since specific internal energy is a function of temperature alone, it follows from equation (3.18) that specific enthalpy will be a function solely of temperature provided that Z and Rw are either constant or functions of temperature only - conditions that are met for a nearideal and semi-ideal gas. Hence equation (3.16) may be replaced by the simpler:

Питома внутрішня енергія є функцією тільки від температури, як випливає з рівняння (3.18) випливає, що питома ентальпія буде функція виключно від температури за умови, що Z і Rw є постійними або функціями тільки від температури - умови, які зустрічалися з майжеідеальним і напів-ідеальним газом. Отже рівняння (3.16) може бути замінене більш простий:



It may be noted in passing that the specific heat for a liquid or a solid cannot be determined at constant volume because each will expand when it is heated. For all practical purposes, the specific heat for a liquid or a solid has a single value, namely the specific heat at constant pressure. The symbol C p is retained, and equation (3.18) applies.

Слід зазначити, до речі, що теплоємність для рідини або твердої речовини, не може бути визначено при постійному обсязі, тому що кожен з них буде розширюватися при нагріванні. Для всіх практичних цілей, теплоємність для рідини або твердого тіла має єдине значення, а саме питома теплоємність при постійному тиску. Символ С р зберігається, і рівняння (3.18) застосовується.

3.3.1 Relationships between the principal specific heats for a near-ideal gas
Differentiating equation (3.17) with respect to temperature for a near-ideal gas when Z is constant gives:

3.3.1 Звязок між головними теплоемкостями для майже ідеального газу
Диференціювання рівняння (3.17) по відношенню до температури для майже ідеального газу при Z є постійним дає:


or, using the definitions of Сv and Cp given in equations (3.12) and (3.16),

або, використовуючи визначення Сv і Сp, наведені в рівняннях (3.12) і (3.16),

We can proceed further, since the kinetic theory of gases gives us the result for a near-ideal gas that:

Ми можемо йти далі, так як кінетична теорія газів дає нам результат для майже ідеального газу, що:

where NF is the number of degrees of freedom for the gas in question, given by:

де NF це число ступенів свободи для газу, задається :

The ratio, y, of the principal specific heats of a gas is of importance in expansion and compression processes, since it may be shown that a reversible, adiabatic (isentropic) expansion or compression will obey the law:

Ставлення, у, основних теплоемкостей газу має важливе значення в процесах розширення і стиснення, так як це може бути доведено, що оборотнє адіабатичне (ізентропічне) розширення або стиснення підкоряються закону:

Equation (3.26) predicts y = 1.67 for a monatomic gas such as helium or argon, y = 1.4 for a diatomic gas such as oxygen, and y = 1.33 for a polyatomic gas such as superheated steam. All these figures are in good general agreement with the values measured for real gases, although y = 1.3 is normally a more realistic value for superheated steam.

Рівняння (3.26) пророкує у = 1,67 для одноатомного газу, такого як гелій або аргон, Y = 1,4 для двоатомних газу, такого як кисень, і у = 1,33 для багатоатомного газу, такого як перегріта пара. Всі ці цифри відповідають величинам, виміряним в реальних газах, хоча у = 1,3, як правило, більш реалістичне значення для перегрітої пари.

3.4 Conservation of mass in a bounded volume
The principle of the conservation of mass will be invoked in just about every process simulation. Often we will need to consider the behaviour of tanks and vessels receiving one or more inflows and supplying one or more outflows. The fluid may be gas in a vessel, liquid in a tank or vapour in a vessel containing both liquid and vapour. Note that in the first case the volume is fixed by the confines of the tank, but when two phases are present in the same vessel, the volumes of each phase will change as the liquid boundary rises or falls.


3.4 Збереження маси в обмеженому обсязі
Принцип збереження маси буде викликаний майже в кожному моделюванні процесу. Часто нам потрібно буде розглянути поведінку резервуарів і ємностей, які отримують один або кілька притоків і постачальників, а також один або кілька відтоків. Рідина може перетворюватись в газ в посудині, рідини в бачку або пара в посудині, що містить як рідина і пар. Слід зазначити, що в першому випадку обсяг фіксується в межах резервуара, але коли дві фази присутні в одній і тій же ємності, обсяги кожної з фаз будуть змінюватися, так як рідина може підніматись або опускись.

Figure 3. I depicts a bounded volume, where one or more of the boundaries is free to move. The principle of conservation of mass requires that
the rate of increase of mass
= the mass inflow - the mass outflow
or, applied to the system of Figure 3.1 and expressed as a differential equation,

Рисунок 3.1 зображує в обмеженому обсязі, в якому один або більше кордонів може вільно переміщатися. Принцип збереження маси вимагає, щоб
темпи зростання маси
= Маса припливу - маса відтоку
або, стосовно до системи, показаної 3,1 і зобразили у вигляді диференціального рівняння,

where m is the mass in the bounded volume, and Wі are the mass flows.

де m маса в обмеженому обсязі, і Wі є потоки маси.

3.5 Conservation of energy in a fixed volume
Let us consider the fixed volume shaded in Figure 3.2. Conservation of energy requires that:
the change of energy in the fixed volume equals the heat input minus the work output plus the work done on the fixed volume by the incoming fluid minus the work done by the outgoing fluid plus the energy brought into the fixed volume by the incoming fluid minus the energy leaving the fixed volume with the outgoing fluid.

3.5 Збереження енергії у фіксованому обсязі
Розглянемо малюнку 3.2 в тіні фіксованого обсягу. Збереження енергії вимагає, щоб:
зміна енергії в заданому обсязі дорівнювала подачу тепла мінус результативність роботи плюс роботу, виконану на фіксованому обсязі по надходженню рідини мінус роботу, виконану для стоку рідини плюс енергії прикладена в фіксованому обсязі по надходженню рідини мінус енергія, що йде з фіксованим обсягом з стоком рідини.

The energy contained in the inlet and outlet streams will exist in three forms: internal energy, mu, kinetic energy, ½ mc2, and potential energy relative to a given datum, mgz, where m is the mass under consideration, c is its velocity and z is its height above the datum.
Applying the principle of the conservation of energy to the fixed volume shown in Figure 3.2 during a time interval δt gives

Енергія, що міститься в впускних і випускних потоках буде існувати у трьох формах: внутрішньої енергії, mu, кінетичної енергії, ½ mc2, і потенційної енергії по відношенню до даної опорної точки, mgz, де m маса з урахуванням, c є його швидкість і z є його висота над опорною точки.
Застосовуючи принцип збереження енергії в фіксованому обсязі, показаної на малюнку 3.2 за проміжок часу δt дає



where
E is the energy contained in the fixed volume (J),
Ф is the heat flux into the fixed volume (W),
P is the mechanical power abstracted from the fixed volume (W),
W1, W2 are the inlet and outlet mass flows (kg/s),
u1, u2 are the inlet and outlet specific internal energies (J/kg),
cl, c2 are the inlet and outlet flow velocities (m/s),
z1, z2 are the heights above the datum of the inlet and outlet flows (m),
p1, p2, are the pressures of the inlet flow and the outlet flow (Pa).
Note that W1 δt vl = δV1, the volume of fluid introduced in time δt, and similarly W2 δt v2 = δV2 the volume of fluid leaving in time δt.

де
Е енергії, що міститься у фіксованому обсязі (J),
Ф тепловий потік у фіксованому обсязі (W),
Р механічна потужність відведеної з фіксованого обсягу (W),
W1, W2 вхідний і вихідний потоки мас (кг / с),
u1, u2 вхідний і вихідний отвори питома внутрішня енергія (Дж / кг),
cl, c2 вхідні і вихідні швидкості потоку (м / с),
z1, z2 висотa опорної точки впускного і випускного потоків (м),
P1, P2, тиск потоку на вході і виході (PA).
Слід зазначити, що W1 δt = VL δV1, об'єм рідини, введеної в часі δt, і аналогічно W2 δt = v2 δV2 об'єм рідини виведеної в часі δt.

Dividing equation (3.29) by δt and letting δt -> 0 allows us to write the differential equation:

Розділивши рівняння (3.29) по δt і дати δt ->0 дозволяє записати диференціальне рівняння:

We will now make the assumption that the contents are well mixed so that we may characterize each of the variables temperature, specific internal energy and specific volume by a single, bulk value that holds throughout the volume. In particular, the values at the outlet are the same as the bulk values:

Тепер ми робимо припущення, що вміст добре перемішується, так що ми можемо охарактеризувати кожен з температуриних змінних, питомої внутрішньої енергії і питомої обсягу, об'ємного значення, який містить по всьому об'єму. Зокрема, значення на виході такі ж, як і для об'ємних величин:

Further, we will assume that there is no frictional loss due to flow from the inlet to the outlet. As a result, the pressure at the outlet and pressure at the mid-point differ only by the head difference:

Крім того, будемо вважати, що немає втрати через тертя при перетоці з впускного отвору до випускного отвору. В результаті, тиск на виході і тиском в середній точці відрізняються тільки різницею, головного:

where z is the height above the datum of the centre of gravity of the fluid, taken as the position where the pressure is equal to its bulk value, p. Hence

де Z являє собою висоту над опорною точкою від центра ваги рідини, розміщено в положенні, в якому тиск становить його значенні об'ємного, р. отже

Using equation (3.33) and noting also the definition of specific enthalpy as h = u+pv, we may rewrite (3.30) as:

За допомогою рівняння (3.33) і відзначаючи також визначення питомої ентальпії як h = u + pv, ми можемо переписати (3.30) наступним чином: