Форум АСУ в Україні

3.9 Conservation of energy in a pipe
We will consider the element of pipe redrawn in Figure 3.4. The pipe element is subject to a heat flux per unit length of φ watts per metre, and we have allowed for the possibility of the flow contributing useful work of ψ watts per metre.
To derive the equation for the conservation of energy, we proceed in the same way as we derived the conservation of mass equation, regarding all variables as functions of both time and distance. Hence at any time, t, the values at the reference distance x are:
pressure = p
specific volume = v
velocity = c
specific internal energy = u
height = z
while at the same time instant, the values at x + δx are:

3.9 Збереження енергії в трубі
Ми будемо розглядати елемент труби зображений на малюнку 3.4. Трубчастий елемент підлягає тепловому потоку на одиницю довжини φ ват на метр, і ми допускали можливість потоку, що сприяє корисну роботу ψ Вт на метр.
Щоб отримати рівняння для збереження енергії, ми виходимо таким же чином, як ми вивели збереження маси рівняння, щодо всіх змінних як функції часу і відстані. Отже, в будь-який момент часу, t, значення у посилання відстані х є:
тиск = р
питомий об'єм = v
швидкість = с
питома внутрішня енергія = u
висота = Z
і в той же момент часу, значення в точці х + δx є:

The principle of conservation of energy is the same as stated at the beginning of Section 3.4, namely:
the change of energy in the pipe element equals the heat input minus the work output plus the energy brought into the pipe element by the incoming fluid minus the energy leaving the pipe element with the outgoing fluid plus the work done on the pipe element by the incoming fluid minus the work done by the outgoing fluid
The principle applied for a time interval δt gives:

Принцип збереження енергії такий самий, як було сказано на початку пункту 3.4, а саме:
зміна енергії в елементі труби дорівнює подачу тепла мінус результативність роботи плюс енергію яка надійшла в елемент трубопроводу з надходженням рідини мінус енергію, що виходить з трубчастого елемента з вихідною рідиною плюс роботу на трубчастому елементі по входженню рідини мінус роботу по витоку рідини
Принцип, який застосовується протягом проміжку часу δt дає:

Noting first that pAc = (Ac/v)pv, and then using the identity h = u + pv allows us to re-express (3.60) as:

Зазначивши, спочатку, що pAc = (Ac/v)pv, а потім за допомогою тотожності h = u + pv дозволяє повторно визначити (3,60), як:

Dividing by δt and letting δt-> 0 gives the partial differential equation:

Поділ на δt і дозволяючи δt-> 0 дає диференціальне рівняння у часткових похідних:

Now the energy in the pipe element, E, is given by the mass times the total of the specific internal energy plus the kinetic energy per unit mass plus the potential energy per unit mass, or, in mathematical symbols:

Тепер енергія в елементі труби, Е, отримується в цілому з питомої внутрішньої енергії плюс кінетичної енергії на одиницю маси плюс потенційної енергії на одиницю маси, або, в математичних символів:
where z is the height of the centre of gravity of the element above the entrance to the pipe, which is taken as the datum. We may express this height as

де z висота центра ваги над входом в трубу, яка береться в якості опорної точки елемента. Ми можемо визначити цю висоту,

where x is the distance measured from the start of the pipe. For a rigidly connected pipe, the element will be fixed in space and so z will not change with time. Hence the time differential is given by:

де х являє собою відстань, виміряну від початку труби. Для жорстко пов'язаної труби, елемент буде фіксований в просторі і так z не зміниться з часом. Тому час диференціювання визначається за формулою:

Substituting from equation (3.65) into equation (3.62) and dividing throughout by δx yields the required equation for the conservation of energy:

Підставляючи з рівняння (3.65) у рівняння (3.62) і розділивши на протязі по δx дає шукане рівняння для збереження енергії:

For simple pipe-flow, no work is done, so ψ = 0, and the cross-sectional area, A, is constant, so that the conservation of energy equation may be rewritten:

Для простого трубового потоку, робота не буде зроблено, так що ψ = 0, а площа поперечного перерізу, є постійною, так що рівняння збереження енергії можна переписати:

Assuming as in the previous section that finite differences can be applied to the right-hand side of the equation, we have effectively a single equation in the three unknowns: dv/dt, du/dt and dc/dt. We may add the mass conservation equation (3.55) in dv/dt to give us two equations in three unknowns, but this still leaves us one equation short. For a full dynamic simulation, we need to consider momentum as well.

Якщо припустити, що і в попередньому розділі, що скінченні різниці можуть бути застосовані до правої частини рівняння, ми отримаєм одне рівняння в трьох невідомих: dv/dt, du/dt і dc/dt. Ми можемо додати рівняння збереження маси (3.55) в dv/dt, щоб отримати два рівняння з трьома невідомими, але це як і раніше залишає нам одне рівняння неповним. Для повного динамічного моделювання, ми повинні також розглянути інерцію.

3.10 Conservation of momentum in a pipe
Figure 3.3 has now been redrawn showing the forces acting on the fluid element in the pipe (Figure 3.5). The conservation of momentum requires that:
the change in momentum in the pipe element equals the momentum brought in by the incoming fluid minus the momentum leaving with the outgoing fluid plus the impulse of the force on the fluid due to pressure at the inlet minus the impulse of the force on the fluid from the pressure at the outlet minus the impulse of the frictional force acting against the flow minus the impulse of the gravitational force acting against the flow.
Expressed mathematically for a period of length δt:

3.10 Збереження імпульсу в трубі
Малюнок 3.3 тепер перемальовували так, що він показує сили, що діють на елемент рідини в трубі (рис 3,5). Закон збереження імпульсу вимагає, щоб:
зміна імпульсу в елементі труби дорівнює імпульс, що вноситься надходженням рідини мінус втрати з вихідною рідиною плюс імпульс сили на рідину імпульсу через тиск на вході мінус імпульс сили на рідину від тиску на виході мінус імпульс сили тертя, що діє проти потоку мінус імпульс гравітаційної сили, що діє проти потоку.
Математично протягом довжини δt:

where:
D is the diameter of the pipe (m), and
τ is the frictional shear stress (N/m2), given by the equation:

де:
D діаметр труби (м), і
τ фрикційна напруга зсуву (Н/м2), задається рівнянням:


where f is the dimensionless Fanning friction factor; the modulus is used to ensure that the frictional force always acts to oppose the direction of flow.

Де f є безрозмірний коефіцієнт тертя Фаннінга; модуль використовується, щоб гарантувати, що сила тертя завжди діє, для протистояння напрямку потоку.

We now substitute (3.71) into (3.70), cancel out terms, divide by δx δt, then let δt -> 0 to give:

Тепер підставимо (3.71) в (3.70), скорочуються терміни, розділіть на δx δt, то нехай δt -> 0, щоб дати:

Assuming once more that the right-hand side of this equation can be subjected to a finite-difference scheme, equation (3.73) provides a further equation in dc/dt and dv/dt, so that in equations (3.58) and (3.69) and (3.73) we have three equations in the three unknowns dv/dt, du/dt and dc/dt. But we should note that the right-hand side of (3.73) contains not only c and v, but also pressure p. Also, we should note that in practice, we will want to know also the temperature T as a function of time and space. Since v and u are independent thermodynamic functions, it is possible to express a third, such as pressure or temperature, as a function of them. So that we should be able to substitute

Якщо припустити, ще раз, що права частина цього рівняння можt бути піддані скінченно різницевій схемі, рівняння (3.73) дає додаткове рівняння в dc/dt і dv/dt, так що в рівняннях (3,58) і (3,69) і (3.73) маємо три рівняння в трьох невідомих dv/dt, du/dt і dc/dt. Але слід зазначити, що права частина (3.73) містить не тільки с і м, а й тиск р. Крім того, слід зазначити, що на практиці, ми хочемо також знати температуру Т як функцію часі і простору. Так як v і u незалежні термодинамічні функції, можна виразити третю, наприклад, тиску або температури, в залежності від них. Так що ми повинні бути в змозі замінити

in equation (3.73) and proceed with the solution for the three unknowns dv/dt, du/dt and dc/dt. In practice, the thermodynamic properties are not usually tabulated in terms of u and v, and an alternative procedure is to use the expressions foreshadowed in equation set (3.8), so that we substitute into (3.58), (3.69) and (3.73):

в рівнянні (3.73) і приступити до вирішення для трьох невідомих dv/dt, du/dt і dc/dt. На практиці, термодинамічні властивості як правило, не наведені в термінах u і v, і альтернативна процедура полягає у використанні вираження в комплект рівнянні (3,8), так що ми підставимо в (3.58), (3.69) і (3.73) :

At this stage, we have three equations in the three unknowns: dp/dt, dT/Ot and dc/dt, and we use the relations:

На даному етапі, ми маємо три рівняння в трьох невідомих: dp/dt, dT/Ot i dc/dt, і ми використовуємо співвідношення:

to calculate the terms needed on the right-hand side of the equations so that the solution can proceed.

для розрахунку умов, необхідних на правій стороні рівняння, так що розчин може протікати.

To summarize: the three conservation equations (3.58), (3.69) and (3.73), taken together with the thermodynamic relations of (3.77) allow a solution to proceed by time integration at discrete points in space along the pipe. The conceptual solution has the following characteristics" given an initial distribution of pressure, temperature and velocity along the pipe, p(x,0), T(x,0), c(x,0) for 0<x<L, where L is the length of the pipe, all future distributions p(x,t), T(x,t), c(x,t) may be calculated (at least approximately) by numerical integration with respect to time at a number of discrete points along the pipe, with, in general, the accuracy being greater if a larger number of points is chosen.
In practice, modellers normally seek to simplify the equations when applying them to particular situations. It is usual when considering pipeline dynamics, for example, to ignore changes in energy and hence temperature, and solve only the two conservation equations for mass and momentum (see Chapter 18). On the other hand, the energy equation dominates, understandably, in the simulation of heat exchangers (see Chapter 19). Chapter 19 also deals with the further complexities involved when the flow is accompanied by chemical reaction, as in gas flow through a catalyst bed.

Підводячи підсумок: три рівняння збереження (3.58), (3.69) і (3.73), взяті разом з термодинамічними звязками (3,77) дозволяють рішення продовжити шляхом часового інтегрування в дискретних точках у просторі уздовж труби. Концептуальне рішення має наступні характеристики: Враховуючи початковий розподіл тиску, температури і швидкості уздовж труби, р(х, 0), Т (х, 0), с (х, 0) при 0 <х <L, де L являє собою довжину труби, всі майбутні розподілу р (х, т), т (х, т), С (х, т) може бути розрахована (принаймні, приблизно) чисельним інтегруванням за часом на ряді дискретних точок вздовж труби, точність бути вище, якщо більше вибирається число точок.
На практиці, моделювальники зазвичай прагнуть спростити рівняння при застосуванні їх у конкретних ситуаціях. Це зазвичай при розгляді динаміки трубопроводів, наприклад, щоб ігнорувати зміни в енергії і, отже, температурі, і вирішує тільки два рівняння збереження для маси та імпульсу (див главу 18). З іншого боку, рівняння енергії домінує, при моделюванні теплообмінників (див главу 19). Глава 19 також має справу з подальшими складнощами, коли потік супроводжується хімічною реакцією, як в потоці газу через шар каталізатора.

література