Форум АСУ в Україні

4 Steady -state incompressible flow
4.1 Introduction
The flow equations developed in Chapter 3, Sections 3.8, 3.9 and 3.10 cover the full, dynamic case, but very often flow will reach a stable, steadystate value very quickly, certainly much quicker than equilibrium can establish itself in the other parts of the plant being simulated, in such instances, following the precepts of Chapter 2, Section 2.9, it will be sensible to neglect the small time constants associated with flow settling, and assume that the flow reaches its steady-state value instantaneously. One method of proceeding would be to set the time-differentials to zero in the equations developed for conservation of mass, energy and momentum, and integrate numerically with respect to distance, with boundary values of upstream and downstream pressure defined. But very often this procedure will be overelaborate. For the vast majority of cases we want a reasonably accurate characterization of flow in terms of the known upstream parameters (pressure, specific volume) and the downstream pressure. This chapter begins with a development of general equations describing both compressible and incompressible flow. It will go on to introduce simplifications applicable for incompressible flow, defined as flow where the change in specific volume may be considered small. This categorization applies not only to the flow of liquids, but also to the flow of gases and vapours when the pressure drop is sufficiently small - of the order of 5%.

4 Стаціонарний режим нестисливого потоку

4.1 Вступ
Рівняння потоку, розроблені в розділі 3, розділи 3.8, 3.9 і 3.10 показали повний, динамічний випадок, але дуже часто потік досягає стабільного, сталого значення дуже швидко, звичайно, набагато швидше, ніж рівновага може утвердитися в інших частинах моделюється технологічної процесу, в таких випадках, слідуючи правилам розділі 2, розділ 2.9, то це буде розумно нехтувати малими константами часу, пов'язаний з розсіюванням потоком, і припустимо, що потік досягає свого стаціонарного значення миттєво. Один із способів розробки буде установка часу диференціала до нуля в рівняннях, розроблених для збереження маси, енергії та імпульсу, а також інтегрувати чисельно по відстані, з визначиними граничними значеннями тиску на вході і виході. Але дуже часто ця процедура буде більш складною. Для переважної більшості випадків ми хочемо досить точну характеристику потоку з точки зору відомих параметрів потоку (тиск, питомий об'єм) і вихідного тиску. Цей розділ починається з розробки загальних рівнянь, що описують як стисливі і нестисливі потоки. Він буде йти на введення спрощень, застосовуваних для нестисливої рідини, визначені як потік, де зміна питомої обсягу можна вважати малими. Ця класифікація відноситься не тільки до потоку рідини, але також і до потоку газів і парів, коли перепад тиску досить мала - близько 5%.

4.2 The energy equation for general steady-state flow
To develop the appropriate equations, we begin with the energy equation for a small element of pipe of length 8x from Chapter 3, Section 3.9:

4.2 Рівняння енергії для загального стаціонарного течії
Для розробки відповідних рівнянь, ми починаємо з рівнянням енергії для малого елемента труби довжиною δx з глави 3, розділ 3.9:

where
E is the energy contained in the element (W),
φ is the rate of energy input per unit length, (W/m),
ψ is the power abstracted per unit length, (W/m), and
(Ac/v) = W is the mass flow rate through the pipe element, (kg/s).

де
Е енергія, що міститься в елементі (W),
φ є швидкість введення енергії на одиницю довжини, (Вт / м),
ψ є сила абстрагується на одиницю довжини, (Вт / м), і
(Ac/v) = W є питома масова витрата через елемент трубопроводу, (кг / с).

The energy contained in the element will be unchanged with time in the steady state:

Енергія, що міститься в елементі залишиться незмінною з часом в стаціонарному стані:
Further, the partial differential on the right-hand side of equation (3.62) may be expanded as

Крім того, диференціальне рівняння з частковими похідними на правій частині (3.62) може бути розширене

since in the steady state, the only variation occurs with distance, and the flow rate, W, will be independent of distance. Substituting back into equation (3.62) gives:

так як у стаціонарному стані, зміна відбувається тільки з відстанню, і швидкість потоку, W, не буде залежати від відстані. Підставляючи назад у рівняння (3.62) дає:

The term φδx/W is the heat flux into the small element per unit mass flow, or, alternatively, the heat input per unit mass of the passing fluid, in units of Joules per kilogram. As δx -> 0, we may name this dq:

Термін φδx/W є тепловий потік елемента в масовій витраті одиниць, або, альтернативно, подача тепла на одиницю маси рідини, що визначається в одиницях Дж за кілограм. Як δx -> 0, ми можемо назвати це dq:

The term ψδx/W is the useful power abstracted from the small element per unit mass flow, or, alternatively, the useful work abstracted per unit mass of the passing fluid, in units of Joules per kilogram. As δx->0, we may name this dw:

Термін ψδx / W є корисною потужності абстрагованої від малого елемента на одиницю маси потоку, або, альтернативно, корисна робота відведеної на одиницю маси рідини, що визначається в одиницях Дж за кілограм. Як δx-> 0, ми можемо назвати цей dw :

This equation explains how the steady-state values of specific enthalpy and speed of the fluid emerging from an infinitesimal pipe element will be affected by the heat input per unit mass the fluid receives as it passes through the element, the work per unit mass the fluid does, and the rise in height it experiences as it traverses the element.

Це рівняння пояснює, як стаціонарні значення питомої ентальпії і швидкості рідини, що виходить з нескінченно малого елемента труби буде залежати від підведення тепла на одиницю маси рідини, що надходить, як вона проходить через елемент, яку роботу виконує на одиницю маси рідини, коли проходить через елемент.

The quantity dq is normally taken as the specific external heating to the differential element, and the quantity dw as the specific useful work abstracted. However, the relationship defined by equation (4.7) applies equally when the specific heat input and the specific work done are the total specific heat input and the total specific work, where the latter include frictional heating and work, as we shall now show.
In a frictionally resisted flow, the total work done will be the sum of the useful work, d w, and the work done against friction, d F, per unit mass of fluid, in units of Joules per kilogram:

Кількість dq зазвичай береться в якості конкретного зовнішнього нагріву до диференціального елемента, а кількість dw, як питома корисна робота відведеної рідини. Тим не менш, зв'язок визначається рівнянням (4.7) відноситься в рівній мірі, коли питомі витрати тепла і питома робота є сумарна питома подача тепла і сумарна питома робота, де останніх відносяться фрикційного нагрівання та роботи, як ми зараз покажемо.
У фрикційного опору потоку, повна робота буде сума корисної роботи, dw, і робота від тертя, dF, яка припадає на одиницю маси рідини в одиницях джоулях на кілограм,:

But the frictional work will reappear as heat, so the total heating per unit mass is now the sum of the externally imposed heating and the frictional heating:

Але робота тертя буде з'являтися у вигляді тепла, так що загальний нагрів на одиницю маси тепер буде сумою зовнішнього нагріву і фрикційного нагрівання:

Substituting from equation (4.8) and (4.9) back into equation (4.7) gives

Підставляючи рівняння (4.8) і (4.9) назад у рівняння (4.7) отримуєм

Notice that equations (4.7) and (4.10) have the same form, except that dq and dw have been replaced by dq, and dw, in the latter. We will now develop equation (4.10) for the case of pipe flow.

Зверніть увагу, що рівняння (4.7) і (4.10) мають ту ж форму, за винятком того, dq і dw були замінені dq1 і dw1, в останній. Тепер ми будемо розвивати рівняння (4.10) для випадку течії в трубі.

In pipe-flow, there will be no useful work done, i.e.

У трубовому потоці, не буде зроблено ніякої корисної роботи, тобто

In addition, the First Law of Thermodynamics states that the change in internal energy and the work done in expansion are driven by the total heat input according to the equation:

Крім того, перший закон термодинаміки говорить, що зміна внутрішньої енергії і робота, виконана в розкладанні визначається загальним введенням тепла у відповідності з рівнянням:

Further, we may formally differentiate h = u + pv to give:

Крім того, ми можемо формально диференціювати h=u+pv дати:

Substituting the conditions of (4.11), (4.12) and (4.13) into (4. I0) gives:

Підставляючи умови (4.11), (4.12) і (4.13) в (4 10) дає:

Equation (4.15) is the general equation describing frictionally resisted flow in a pipe element. We may rewrite it in terms of rates of change with distance along the pipe by dividing by dx:

Рівняння (4.15) є pагальним рівнянням, що описує фрикційного опір потіку в елементі трубопроводу. Ми можемо переписати його за темпами зміни з відстанню уздовж труби шляхом ділення dx: