Форум АСУ в Україні

Generalizing to the multivariable case, a timeinvariant, linear dynamic system may be defined by the vector differential equations:

Узагальнюючи в багатофакторному випадку, час у варіанті, лінійної динамічної системи може бути визначене за допомогою векторf диференціальних рівнянь:

where:
A is an n x n matrix with constant elements, and
B is an n x l matrix of constants.
The system time constants are taken as the negative reciprocals of the real parts of the non-zero eigenvalues of the matrix A. These determine the time responses of various parts of the system in an analogous way to re in the example above.

де:
А n х n матриця з постійними елементами, і
B є n х l матриця констант.
Постійні часу системи беруть негативні зворотні звязки частин ненульових власних значень матриці А. Ці визначення часу реакції різних частин системи аналогічним чином, так як і в наведеному вище прикладі.

While the time constant is strictly a linear concept, the basic idea can be transferred to nonlinear systems by linearizing about an operating point. Now the time 'constants' will not be constant at all, but will depend, at any instant of time, on the values of the states and, in some cases, the plant inputs. Nevertheless, for reasons of custom and familiarity, we continue to use the term 'time constant' in the context of nonlinear systems, but with the above caveat in the back of our minds.

У той час як постійна часу строгої лінійної концепції, основна ідея може бути передана нелінійним системам шляхом лінеаризації в околі робочої точки. Тепер час 'константи' не постійний на всіх, але буде залежати, в будь-який момент часу, від значень станів і, в деяких випадках, входів виробництва. Проте, з причин, звичаях і знайомство, ми будемо продовжувати використовувати термін «постійна часу» в контексті нелінійних систем, але з застереженням зазначеним вище в наших умах.

The linearized equivalent for the system defined by equation set (2.22) is

Лінеаризований еквівалент для системи, яка визначається рівнянням встановленим в (2.22)

where:
is an n x 1 vector of state deviations from an operating point defined by the state vector, x, and the input vector, u,
u is an l x 1 vector of input deviations from the input vector, u,
J is the n x n Jacobian matrix, defined as:

де:
x є n x 1 вектор стану відхилень від робочої точки визначається вектор стану, X, і вхідний вектор, u,
u є l x 1 вектор вхідних відхилень від вхідного вектора, u,
J є N х N матриця Якобі, обумовлена як:

while the n x 1 input-Jacobian matrix, Jb, is defined as:

в той час як n x 1 вхід-матриці Якобі, JB, визначається як:

We evaluate the Jacobian matrices at a particular operating condition, defined by its states and the system inputs. It is important to emphasize that the linearized equation (2.47) and the Jacobian matrices it contains are valid only near that operating point.

Ми оцінюємо матриць Якобі на певному операційному стані, визначається його стани і входи системи. Важливо підкреслити, що лінеаризоване рівняння (2.47) і матриця Якобі містить дійсні тільки поблизу цієї робочої точки.

For the multivariable, nonlinear system, the time constants are the negative reciprocals of the non-zero eigenvalues of the Jacobian matrix, J, which are the roots of the equation:

Для багатофакторної, нелінійної системи, постійні часу негативних зворотніх ненульових власних значень матриці Якобі, J, які є коріннями рівняння:

To put some flesh on these theoretical bones, let us consider again the tank liquid level system. Linearization of the equation set (2.21) allows us to set down the Jacobian matrix in terms of the states and the system constants as:

Давайте знову розглянемо систему рівня рідини бака. Лінеаризацій рівняння безліч (2.21) дозволяє встановити матрицю Якобі в змінних і систему констант, як:

This may be simplified using equation (2.2), repeated below:

Це може бути спрощене за допомогою рівняння (2.2), повторене нижче:

to the form:

у вигляді:

We find the eigenvalues by setting the determinant to zero:

Ми знаходимо власні значення, встановивши визначник рівним нулю:

The solution to this quartic equation can be seen by inspection to be the two roots:

Вирішенням даного рівняння четвертого ступеня можна розглядати оглядом двох коренів:

and the roots of the quadratic contained in the square brackets, given by:

і коренів квадратного міститься в квадратних дужках, визначається за формулою:

To evaluate these eigenvalues, we need data at an operating point, such as the physically feasible data-set is given in Table 2.2. It will now be shown how easy it is for stiffness to creep into a simulation.

Щоб оцінити ці власні значення, ми повинні дати їх на робочій точці, наприклад, фізично допустимого набору даних наведено в таблиці 2.2. Тепер воно буде показано, як легко показати це для жорсткості в симуляції.

Using these data, we calculate that the eigenvalues are:

Використовуючи ці дані, ми розраховуємо, що власні значення:

so that the corresponding system time constants in seconds are:

так що відповідні постійні часу системи в секундах:

We may see that the time constants are of significantly different value and that the system has a stiffness ratio of nearly 30. In fact, the stiffness ratio depends strongly on the gain that is selected for the level controller. When the gain, k, is reduced to 0.5, the time constants change to:

Ми можемо бачити, що постійні часу мають значно інше значення, і що система має відношення жорсткості майже 30. Справді, ставлення жорсткості сильно залежить від коефіцієнта пропорційності, яка обрана для регулятора рівня. Коли коефіцієнта пропорційності, K, зменшується до 0,5, постійні часу змінити, щоб:

so that the stiffness ratio is nearly 60. A stiffness ratio in excess of 500 can result if the controller gain, k, is reduced to a very low value.

так що жорсткість становить майже 60. Співвідношення жорсткості понад 500 може призвести до того що коефіцієнт пропорційності регулятора, К, зменшується до дуже низького значення.

It is thus apparent from the simple but quite feasible example of the tank liquid level system that stiffness can easily become a significant feature of the simulation of a process plant. While stiffness in such a small simulation as this will not cause a major computational burden, stiffness in a larger process plant system will result in a very significant slowing of the integration, and special measures need to be taken to counter its influence.

Таким чином, виходячи з простого, але цілком реального прикладу системи регулювання рівня рідини в резервуарі, що жорсткість може легко стати суттєвою рисою моделювання технологічного процесу. У той час як жорсткість в такому маленькому моделюванні, так як це не буде викликати велику обчислювальну навантаження, жорсткість у більшому технологічному процесі призведе до вельми значного уповільнення інтегрування, а також повинні бути прийняті спеціальні заходи для боротьби з його вплив.

2.8 Tackling stiffness in process simulations: the properties of a stiff integration algorithm
Explicit integration algorithms have the advantage that all calculations proceed from known data and the integration progresses in an entirely straightforward, time-marching manner. Unfortunately, for the simplest of these, the Euler integration algorithm of equation (2.27), numerical instability will occur if the timestep is greater than twice the smallest time constant, so that the we must constrain the timestep to:

2.8 Вибір жорсткість при моделюванні процесів: властивості жорсткого алгоритму інтегрування
Явні алгоритми інтегрування мають ту перевагу, що всі розрахунки виходять з відомих даних та інтегрування відбувається в абсолютно просто, відповідно до часу. На жаль, найпростіший з них, алгоритм інтегрування Ейлера рівняння (2.27), чисельна нестійкість буде мати місце, якщо часовий крок більше ніж у два рази найменшиої постійної часу, так що ми повинні обмежити часовий крок до:

This constraint will hold throughout the calculation, so that the speed of the simulation is limited by the shortest time constant, even though the rapid dynamics of the associated part of the model will come very quickly to have little effect on the solution. It might be hoped that this constraint could be eased by choosing a more complex, but still explicit, integration algorithm. But this is not the case: the condition for a fourth-order algorithm such as Runge-Kutta is little better at:

Це обмеження буде проводити протягом всього розрахунку, таким чином, що швидкість моделювання обмежується найменшою постійною часу, хоча швидка динаміка відповідної частини моделі пройде дуже швидко, щоб мати незначний вплив на рішення. Необхідно сподіватися, що це обмеження може бути ослаблена шляхом вибору більш складного, але все ж явного, алгоритму інтегрування. Але це не так: умова для алгоритму четвертого порядку, такого як Рунге-Кутта трохи краща:

These restrictions cause us to consider implicit algorithms as an alternative.

Ці обмеження змушують нас розглядати неявний алгоритм в якості альтернативи.