Форум АСУ в Україні

2.6 Distributed systems: partial differential equations
The assumption implicit in the discussion so far is that the system to be modelled consists of lumpedparameter elements and thus may be described adequately using ordinary differential equations in time. This will be true for a large number of process plant systems to a high degree of accuracy. But there are plant components that fit uneasily within this characterization, since they are inherently distributed in nature. It may be possible to model their responses using a simple, lumped-parameter approach if they are relatively unimportant items in a larger system, but sometimes the degree of error introduced will be unacceptable for the system under study. Accurate modelling requires that they be described by partial differential equations in time and space. Examples are very long pipelines, heat exchangers and catalyst beds, and detailed models are derived for these components in Chapters 19 and 20.

2,6 Розподілені системи: диференціальні рівняння
Припущення, закладене в обговорення до цих пір є те, що система, яка повинна бути змодельована, складається з елементів із зосередженими параметрами і, таким чином, може бути адекватно описана за допомогою звичайних диференціальних рівнянь за часом. Це буде вірно для великої кількості систем технологічних установок з високим ступенем точності. Але існують виробничі компоненти, які відповідають тривожно межах цієї характеристики, так як вони за своєю натурою поширені в природі. Це може бути можливим моделювати свої відповіді з використанням простого підходу, зосередженими параметрами, якщо вони є відносно незначні елементи в більш великої системи, але іноді ступінь похибки, що вноситься буде неприйнятно для досліджуваної системи. Точне моделювання вимагає, щоб вони описані диференціальних рівнянь в приватних в часі і просторі. Прикладами є дуже довгі трубопроводи, теплообмінники та шари каталізатора, і деталізовані моделі отримані для цих компонентів в главах 19 і 20.

The distributed parameter component can be introduced into the larger system being simulated in one of two ways: either it can be introduced as an integral part through finite differencing in the distance dimension (or dimensions), or else it can be kept as a separate computational entity that communicates with the main simulation only at specified communication intervals.
To illustrate these concepts, let us take the example of a heat exchanger, where the temperature of the fluid within the tube will vary continuously throughout the length of the heat exchanger. The describing equations will have the form:

Розподілений компонент параметр може бути введений в велику модельовану систему в один із двох способів: або він може бути введений в якості невід'ємної частини через кінцеву різницю у вимірі відстані (або розмірів), або ж він може бути у вигляді окремої обчислювальної одиниці, яка здійснює зв'язок з головною моделею тільки через певні проміжки часу зв'язку.
Щоб проілюструвати ці концепції, давайте розглянемо наприклад теплообмінник, де температура рідини усередині трубки буде безупинно змінюватися по всій довжині теплообмінника. У описують рівняння буде мати вигляд:

where
T is the temperature of the fluid inside the tube
Tw is the temperature of the tube wall
c is the velocity of the fluid inside the tube (m/s),
Ts is the temperature of the shell-side fluid
K1, k2, k3 are all heat transfer constants (s-I).

де
Т температура рідини усередині трубки
Tw температура стінки труби
C є швидкість рідини усередині трубки (м / с),
Ts є температура оболонки на стороні рідини
K1, K2, K3, все константи теплопередачі (S-I).

In many cases there would be a partial differential equation similar to (2.31) for the shell-side fluid also. An exception occurs when the shell-side fluid consists of condensing steam, when the shell-side fluid temperature can be characterized by a single value and described by an ordinary differential equation. For simplicity we will consider here this last case.
We may divide the heat exchanger along the length of its tube as shown in Figure 2.2 below so that we may apply a finite-difference approximation to the equations.

У багатьох випадках було б диференціальне рівняння, аналогічне (2.31) для оболонки з боку рідини теж. Виняток відбувається, коли оболонка на стороні рідини складається з конденсату пари, коли температура оболонки на стороні текучого середовища може бути охарактеризована одним значенням і описані звичайним диференціальним рівнянням. Для простоти ми будемо розглядати цей останній випадок.
Ми можемо розділити теплообмінник по всій довжині його трубки, як показано на малюнку 2.2 нижче, так що ми можемо застосувати звичайно-різницеву апроксимація рівнянь.


Термінологія.
finite difference approximation - апроксима́ція скінче́нними різни́цями

We use the finite difference approximation for the temperature gradient along the heat exchanger:

Ми використовуємо кінцеві різниці для градієнта температури вздовж теплообмінника:


where L is the length of the heat exchanger tube (m) and N is the number of cells, and putting

де L являє собою довжину труби теплообмінника (м) і N- число секцій

allows us to recast equations (2.31) and (2.32) as:

дозволяє нам переробити рівняння (2.31) і (2.32) у вигляді:

The formulation of (2.36) and (2.37) shows how the rate of change of the tube-fluid temperature in a given cell will vary with time, dependent on two opposing driving forces:
(1) the heat passing from the hot tube wall to warm the tube-side fluid, and
(2) the cooling effect of the tube fluid flowing from the cooler previous cell at velocity, c.
Equation (2.38) shows how the corresponding section of the tube wall is warmed by the steam on the shellside, but cooled by the tube-side fluid.

Формулювання (2,36) і (2,37) показує, як швидкість зміни температури трубки рідини в даній соті буде змінюватися з часом, залежить від двох протилежних рушійних сил:
(1) теплового переходу від гарячої стінки труби, щоб нагріти труби на стороні рідини, і
(2) охолоджуючий ефект трубки рідини, що протікає з холодильника попередньої комірки зі швидкістю, с.
Рівняння (2.38) показує, як відповідний розділ стінки труби нагрівається від пара на боку оболонки, але охолоджується з боку труби рідини.

Once a value for Δx has been fixed by choosing the number of cells, N, the equations (2.36), (2.37) and (2.38) are in the canonical form of (2.22). The cell temperatures for the tube-side fluid and for the tube wall may be added to the state vector of the overall system simulation, as indicated by equation (2.39):

Після того, як значення Δx було зафіксоване вибравши кількість секцій, N, рівняння (2.36), (2.37) і (2.38) в канонічній формі (2.22). Температури клітин для трубки на стороні рідини і для стінки труби може бути доданий до вектора стану загальної системи моделювання, як показано в рівнянні (2,39):

A point to be noted is that the selection of the number of cells and hence the cell length, Δx, cannot be totally free in any finite difference scheme. The Courant condition suggests that the time integration should not attempt to calculate beyond the spatial domain of influence by using a temperature at a distance beyond the range of influence determined by the characteristic velocity of temperature propagation. Hence

Слід також зазначити, що вибір числа секцій і, отже, довжина клітин, Δx, не може бути повністю вільним у різних схемах. Постійна Куранта припускає, що час інтеграції не повинні намагатися обчислити за просторової області впливу за допомогою температури на відстані за межами діапазону впливу визначається характеристикою швидкості поширення температури. Отже

In practice, Δx will be normally be set in advance by the modeller by his choice of the number of cells, while the integration routine may well seek to vary the integration timestep. The resulting restriction on the integration time interval is:

На практиці, Δx буде, як правило, встановлюється заздалегідь моделювальником вибору числа секцій, в той час як процедура інтегрування, може також прагнути до інтегрування зміни часового кроку. Отримані обмеження на інтервал часу інтегрування:

But the modeller may choose to use the method of characteristics in preference to a finite difference scheme, since this method is generally accepted to be the most accurate way of dealing with hyperbolic partial differential equations such as the heat exchanger equation (2.3 l). Here we recognize that the left-hand side of that equation is the total differential of temperature with respect to time:

Але моделювальник може вибрати для використання методу характеристик в перевазі до різних схем, так як цей метод, як правило, приймається рівним найточніший спосіб боротьби з гіперболічними диференціальних рівнянь з частковими похідними, таких як рівняння теплообмінника (2,31). Тут ми розуміємо, що ліва частина цього рівняння є повним диференціалом температури за часом:

This differential holds along the characteristic defined by the velocity, c. In effect, we may calculate the temperature of a packet of fluid moving with the stream through the heat exchanger. But to use this method, we need to fix the time interval absolutely as

Цей диференціал тримається уздовж характеристики, визначеної швидкістю, c. Насправді, ми можемо обчислити температуру пакету рідини, що рухається з потоком через теплообмінник. Але, щоб використовувати цей метод, нам потрібно виправити інтервал часу абсолютно, як

which is a stricter condition than (2.41). The modeller sets Ax by his choice of N, but the velocity, c, may need to vary over a large range as the simulation progresses. Accommodating such variations has some slightly awkward (although soluble) implications for when we use the method of characteristics to simulate the heat exchanger on its own.

який є більш жорстким порівняно з умовою (2.41). Моделювальник встановлює Δх за своїм вибором N, а швидкість, c, можливо, буде потрібно змінювати в широкому діапазоні, як прогресує моделювання. Розміщення таких змін має деякі наслідки коли ми використовуємо метод характеристик для імітації теплообмінника по собі.

But having the timestep determined completely by just one plant component out of a very much larger simulation can lead to 'the tail wagging the dog' and may bring unacceptable consequences for the simulation of the plant as a whole, such as instability or an excessive time taken to run the simulation. An alternative way of dealing with the problem is to run an independent sub-simulation of the distributedparameter component, and cause results to be exchanged between the main simulation and the subsimulation only at specified communication intervals. Running two (or more) concurrent simulations that communicate at specified time intervals is a perfectly acceptable way of working. It has the practical advantage, too, that the program for the subsystem involving the solution of partial differential equations can be developed and debugged quite separately from the overall simulation. Since any program involving the solution of partial differential equations is likely to be fairly complicated, this can be a significant benefit.

Але маючи часовий крок повністю визначається лише одним з компонентів виробництва із дуже значно більшою моделювання може призвести до "хвіст виляє собакою" і може призвести до недопустимих наслідків для моделювання заводу в цілому, такі як нестабільність або прийняття надмірного часу, щоб запустити симуляцію. Альтернативний спосіб вирішення проблеми полягає у запуску незалежного суб-моделювання компонента розподілених параметрів, і привести до результатів обміну між головним моделювання та суб-моделюванням тільки через певні проміжки часу зв'язку. Запуск двох (або більше) паралельних моделюваннь, які обмінюються через певні проміжки часу є цілком прийнятним способом роботи. Вона має практичну перевагу, що програма для підсистеми участю рішення диференціальних рівнянь з частковими похідними можуть бути розроблені і налагоджені абсолютно відокремлено від загального моделювання. Оскільки будь-яка програма, що передбачає рішення диференціальних рівнянь з частковими похідними, ймовірно, буде досить складно, це може бути істотною перевагою.

2.7 The problem of stiffness
It is obviously beneficial for the simulation program to run as fast as possible, both in terms of cost and in terms of convenience for the control engineer who has to interact with it. But a major problem arising with process plants is the wide variety of time constants inherent in them. If the integration timestep for the system as a whole must be kept short to cope with the shortest time constant, then clearly the overall integration speed will be low. This is a real concern, and gives rise to the notion of 'stiffness', which may be quantified using the concept of 'system time constants', discussed below. A system is said to be stiff when it possesses time constants of widely different magnitudes, and the stiffness, S, of a model is measured by taking the ratio of the largest to the smallest time constant:

2.7 Проблема жорсткості
Це, очевидно, вигідно для програми моделювання для якомога швидшого запуску, як з точки зору вартості і з точки зору зручності для інженера-автоматчика, який повинен взаємодіяти з нею. Але основною проблемою, яка виникає для технологічних установок є широкий вибір постійних часу, притаманних їм. Якщо інтеграція часового кроку для системи в цілому повинна бути короткою, щоб впоратися з найменшою постійною часу, то, очевидно, загальна швидкість інтегрування буде низькою. Це реальна проблема, і призводить до поняття «жорсткості», яке може бути кількісно, використовуючи концепцію «час системних констант", які обговорюються нижче. Система називається жорсткою, коли віна володіє постійними часу різних величин і жорсткість, S, моделі вимірюється як відношення найбільшої до найменшої постійної часу:

All models of realistic physical systems will possess a range of time constants, and hence a degree of stiffness. A system will not be seen as stiff if S < 10, but a system with S > 100 will certainly be regarded as stiff. The boundary between what is and what is not a stiff system lies somewhere in between, perhaps with S = 30.
The time constant is a linear concept, which derives from the solution of a linear differential equation such as that used to model valve I in Section 2.2:

Всі моделі реальних фізичних систем володіють спектром постійних часу і, отже, ступенем жорсткості. Система не буде розглядатися як жорстка, якщо S <10, але система з S> 100, безумовно, буде розглядатися як жорсткі. Кордон між тим, що є і що не є жорсткою системою знаходиться десь між ними, можливо, з S = 30.
Постійна часу лінійної концепції, яка випливає з рішення лінійного диференціального рівняння як, наприклад, використовуваного для моделювання клапан 1 в розділі 2.2:

The solution to this equation from a starting condition of x1= 0 at t = 0 is :

Рішення цього рівняння з вихідного стану x1 = 0 при Т = 0:

The time constant, τ1, determines how rapidly xj approaches xd1. For example, after a step input in Xd1, the difference between x1 and Xd1 will be less than 5% after a time period of 3 time constants has elapsed.

Постійна часу, τ1, визначає, наскільки швидко X1 наближається до xd1. Наприклад, після стадії введення в xd1, різниця між X1 і xd1 буде менше, ніж 5% після того, як пройшов період часу в 3 постійних часу.